I. Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $D.$
• Nếu f(x) $ \leq$ M; $ \forall$x $ \in$D và $ \exists$ $ x_{o}$ $ \in$D sao cho f($ x_{o}$) = M thì M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên D.
Kí hiệu: $\mathop {max}\limits_{x \in \,\,D} f(x) = M$
• Nếu f(x) $ \geq$ M; $ \forall$x $ \in$D và $ \exists$ $ x_{o}$$ \in$D sao cho f($ x_{o}$) = m thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên D.
Kí hiệu: $\mathop {min}\limits_{x\,\, \in \,\,D} f(x) = m$
II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường gặp
• Phương pháp 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$trên $R.$
Phân tích $f\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]$
+ Nếu a > 0 thì $\mathop {m{\mathop{\rm in}\nolimits} }\limits_{x\,\, \in \,\,R} f(x) = - \frac{\Delta }{{4a}} \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}$
+ Nếu a < 0 thì $\mathop {m{\mathop{\rm ax}\nolimits} }\limits_{x\,\, \in \,\,R} f(x) = - \frac{\Delta }{{4a}} \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}$
• Phương pháp 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$trên $\left[ {\alpha ;\beta } \right]$
Tìm hoành độ đỉnh parabol ${x_o} = - \frac{b}{{2a}}$
+ Trường hợp 1: a > 0; $\mathop {max}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = \max \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right)} \right]$
* Nếu ${x_o} \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]$thì $\mathop {min}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = f({x_0})$
* Nếu ${x_o} \notin \left[ {\alpha ;\beta } \right]$thì $\mathop {min}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = min\{ f(\alpha ),{\rm{ }}f(\beta )\} $
+ Trường hợp 2: a < 0; $\mathop {min}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = \max \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right)} \right]$
* Nếu ${x_o} \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]$thì $\mathop {max}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = f({x_0})$* Nếu ${x_o} \notin \left[ {\alpha ;\beta } \right]$thì $\mathop {max}\limits_{x \in [\alpha ;\,\,\beta ]} \,f(x) = max\{ f(\alpha ),{\rm{ }}f(\beta )\} $
• Phương pháp 3:
Dùng tính chất đơn điệu của hàm số.
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$
- Tìm nghiệm $ x_{o}$của $f'(x)$ trong $[a; b].$
- Khi đó:
* $\mathop {min}\limits_{x \in [a;\,\,b]} \,f(x) = \min \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right),f\left( {{x_o}} \right)} \right]$
* $\mathop {max}\limits_{x \in [a;\,\,b]} \,f(x) = \max \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right),f\left( {{x_o}} \right)} \right]$
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ không phải trên $[a; b]$
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Chú ý:
- Nếu hàm số $y = f(x)$ tăng trên $[a, b]$ thì:
$\mathop {min}\limits_{x \in [a;\,\,b]} \,f(x) = f(a)$và $\max \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right)} \right] = f\left( b \right)$
- Nếu hàm số $y = f(x)$ tăng trên $[a, b]$ thì:
$\mathop {min}\limits_{x \in [a;\,\,b]} \,f(x) = f(b)$và $\max \left[ {f\left( \alpha \right),f\left( \beta \right)} \right] = f\left( a \right)$
- Nếu bài toán phải đặt ẩn số phụ thì phải có điều kiện cho ẩn số phụ đó.
• Phương pháp 4: Dùng miền giá trị của hàm số $y = f(x)\left( {x \in D} \right)$
$y$ thuộc miền giá trị của hàm số $y = f(x)$
Phương trình $y = f(x)$có nghiệm $x \in D$.
Từ đó ta tìm được điều kiện của $y$ và suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Chú ý: Phương trình: $asinx + bcosx = c$
có nghiệm $x \in R \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}$
• Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức
Dùng các bất đẳng thức đại số để chặn biểu thức f(x) rồi dùng định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để tìm đáp số.
+ Lưu ý: Phải xét dấu “=” xảy ra trong tất cả các bất đẳng thức đã dùng trong quá trình giải.
III. Một số bài tập và phương pháp giải (xem file đính kèm)
