Bài 1. Phương trình đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
* Định nghĩa
Vectơ $\overrightarrow u $ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ và giá của $\overrightarrow u $ song song hoặc trùng với $\Delta $.
Nhận xét
- Nếu $\overrightarrow u $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta $đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)$ làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x ; y) bất kì trong mặt phẳng, ta có $\overrightarrow {M{M_0}} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$. Khi đó $M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_0}} $ cùng phương với $\overrightarrow u \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_0}} = t\overrightarrow u $.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - {x_0} = t{u_1}} \\
{y - {y_0} = t{u_2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + t{u_1}} \\
{y = {y_0} + t{u_2}}
\end{array}} \right.\left( 1 \right)$
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, trong đó t là tham số.
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta $.
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ nếu $\overrightarrow n \ne 0$ và $\overrightarrow n $ vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Nhận xét
Nếu $\overrightarrow n $ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ thì $k\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đưòng thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Với mỗi điểm M(x ; y) bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: $\overrightarrow {M{M_0}} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$.
Khi đó:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{M\left( {x;y} \right) \in \Delta \Leftrightarrow \vec n \bot \overrightarrow {M{M_0}} } \\
{ \Leftrightarrow a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0} \\
{ \Leftrightarrow ax + by + \left( { - a{x_0} - b{y_0}} \right) = 0} \\
{ \Leftrightarrow ax + by + c = 0}
\end{array}$
Với $c = - a{x_0} - b{y_0}$.
Định nghĩa
Phương trình ax + by + c =0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
Nếu đường thẳng $\Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì $\Delta $có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - b;a} \right)$.
* Các trường hợp đặc biệt
Cho đường thẳng $\Delta $có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)
a) Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành by + c = 0 hay $y = - \frac{c}{b}$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Oy tại điểm $\left( {0; - \frac{c}{b}} \right)$.
b) Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành ax + c = 0 hay $x = - \frac{c}{a}$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Ox tại điểm $\left( { - \frac{c}{a};0} \right)$.
c) Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành ax + by = 0.
Khi đó đường thẳng $\Delta $đi qua gốc tọa độ O.
d) Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng $\frac{x}{{{a_0}}} + \frac{y}{{{b_0}}} = 1$.
với ${a_0} = - \frac{c}{a},{b_0} = - \frac{c}{b}$. (2). Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại $M\left( {{a_0};0} \right)$ và $N\left( {0;{b_0}} \right)$.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có phương trình tổng quát lần lượt là ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$.
Toạ độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\
{{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0}
\end{array}} \right.(I)$
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (I) có một nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, khi đó ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó ${\Delta _1}$ trùng với ${\Delta _2}$.
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ không có điểm chung, hay ${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$.
6. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được kí hiệu là $\left( {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right)$ hoặc $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$.
Cho hai đường thẳng
$\begin{array}{*{20}{l}}
{{\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\
{{\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0}
\end{array}$
Đặt $\varphi = \left( {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right)$ thì ta thấy $\varphi $ bằng hoặc bù với góc giữa ${\overrightarrow n _{_1}}$ và ${\overrightarrow n _{_2}}$ trong đó ${\overrightarrow n _{_1}}$, ${\overrightarrow n _{_2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Vì $\cos \varphi \ge 0$ nên ta suy ra
$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$
Vậy
$\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta $có phương trình ax + by + c = 0 và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến đường thẳng $\Delta $, kí hiệu là $d\left( {{M_0},\Delta } \right)$), được tính bởi công thức sau:
$d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
